hádanky | Jak to udělat II

Problémy s váhou

Pan Těžký měl problémy s váhou - vážil 117 kg. Lékař mu předepsal 2 červené a 3 žluté pilulky. Po červené ztratí čtvrtinu váhy, po žluté přibere 11 kg. V jakém pořadí pilulky bral, když po užití všech pěti pilulek vážil přesně 94 kg? Paní Hubená vážila 53 kg a myslela si, že je silná. Když viděla, jak pan Těžký po pilulkách zhubl, koupila si stejné pilulky a brala je ve stejném pořadí. Kolik vážila, když je všechny spotřebovala?

Řešení	Ukázat
žlutá - červená - červená - žlutá - žlutá 58 kg

Vojenský I.

Armáda velmoci A vlastní letadla typu B. Ta smí startovat a přistávat pouze z jediného letiště na Zemi. Letadlo typu B unese palivo na půl obletu Země, je však schopné přijímat a předávat za letu palivo. Časové ztráty při předáváníní paliva jsou zanedbatelné. Kolik letadel typu B musí armáda mít, aby jedno z nich dokázalo obletět Zemi? Všechna letadla musí bezpečně přistát.

Řešení	Ukázat
Tři letadla stačí. Rozdělíme obvod Země na 12 dílů jako na hodinkách. Startovat budeme na 6 proti směru hodinových ručiček. Vystartují všechna 3 letadla ALFA, BETA, GAMA. Když doletí na 4, předá GAMA 1/3 nádrže ALFĚ a vrátí se. Na 3 BETA předá 1/6 nádrže ALFĚ a vrací se. GAMA je na 5. Nyní má ALFA plnou nádrž a doletí až na 9. ALFA je na 2. BETA je na 4. GAMA je na základně, nabere palivo a letí naproti BETĚ. ALFA je na 1. BETA a GAMA se potkají na 5, BETA doplní palivo a obě se vrátí na 6. ALFA je na 12. BETA a GAMA načerpali palivo a letí ALFĚ naproti po směru hodinových ručiček. Na 8 dá GAMA 1/3 nádrže BETĚ a vrací se na 6. ALFA je na 10. Na 9 se ALFA a BETA potkají, BETA dá ALFĚ 1/3 nádrže (jí zůstane 1/2, to jí stačí na návrat). GAMA se akorát stačí vrátit na 6 pro palivo a doletět na 7, kde ho doplní ALFĚ.

Řešení

Ukázat

Vojenský II

Vojenský automobil s depeší má za úkol přejet poušť. Na poušti však nejsou žádné čerpací stanice a automobil uveze naftu, která postačí na přejezd poloviny pouště. Máme však k dispozici další auta, která mohou kdykoli přelít obsah (nebo část) své nádrže do jiného auta. Kolik takových aut je minimálně potřeba, aby jedno dojelo do cíle a ostatní se vrátila na základnu?

Řešení	Ukázat
Potřebujeme 8 aut. 4 převážejí palivo v 1. šestině cesty, 2 převážejí palivo ve 2. šestině a 1 veze palivo ve 3. šestině pro auto, které dojede do cíle.

14 lenochů

Do výtahu 14-ti poschoďového domu nastoupilo 14 lenochů. Každý z nich vystupuje v jiném patře. Výtah však může zastavit jen jednou. Ve kterém poschodí má výtah zastavit, aby se skupina unavila co nejméně, když cesta nahoru je dvakrát tak namáhavá než cesta dolů?

Řešení	Ukázat
Pokud výtah zastaví v $x$ -tém poschodí (předpokládáme, že vyjíždí z přízemí, což je nulté poschodí), únava lidí jdoucích dolů bude $1+2+\dots+(x-2)+(x-1)=\frac{x(x-1)}2$ a únava lidí jdoucích nahoru bude $2[1+2+\dots+(13-x)+(14-x)]=(15-x)(14-x)$ Celková únava $U(x)=\frac{x(x-1)}2+(15-x)(14-x)=\frac32x^2-\frac{59}2x+210$ Tato funkce nabývá minima pro $x_m=\frac{\frac{59}{2}}{2\cdot\frac{3}{2}}= 9\frac{5}{6}$ Výtah musí zastavit v 10. poschodí.

Řešení

Ukázat

Pokud výtah zastaví v

$x$ -tém poschodí (předpokládáme, že vyjíždí z přízemí, což je nulté poschodí), únava lidí jdoucích dolů bude

$1+2+\dots+(x-2)+(x-1)=\frac{x(x-1)}2$

a únava lidí jdoucích nahoru bude

$2[1+2+\dots+(13-x)+(14-x)]=(15-x)(14-x)$

Celková únava

$U(x)=\frac{x(x-1)}2+(15-x)(14-x)=\frac32x^2-\frac{59}2x+210$

Tato funkce nabývá minima pro

$x_m=\frac{\frac{59}{2}}{2\cdot\frac{3}{2}}= 9\frac{5}{6}$

Výtah musí zastavit v 10. poschodí.

Testování míčků

Společnost zabývající se testováním hraček dostala za úkol otestovat odolnost nových míčků proti zničení. Úkolem je zjistit, jaké je nejvyšší patro 100 patrové budovy, z něhož je možné vyhodit míček, aniž by se tento po dopadu rozbil. Společnost však dostala k dispozici pouze 2 míčky. Počet pokusů prováděných s jedním míčkem není omezen, jakmile se však rozbije, není již možné ho dále používat. Jaký je minimální počet pokusů nutný (v nejhorším případě) ke splnění úkolu?

Řešení	Ukázat
Nejlepší strategie, kterou jsem našel, to dokáže do 14-ti pokusů. Začneme ve 14. poschodí. Pokud se míček rozbije, testujeme druhý od 1. poschodí. V nejhorším případě se rozbije ve 13. poschodí a my uděláme 14 pokusů. Pokud se první míček ve 14. poschodí nerozbije, pokračujeme s ním ve 27. poschodí, 39., 50., 60., atd. (vždy přičteme číslo o 1 menší) až do 99. Pokud se v některém z těchto poschodí míček rozbije, začneme druhý testovat od předchozího, v němž se nerozbil a jdeme po jednom poschodí nahoru. Například, kdyby se míček rozbil v 60. poschodí, otestujeme 51. až 59. (tj. devět pokusů) a máme celkem zase 14 pokusů.

Řešení

Ukázat

Problémy s váhou

Vojenský I.

Vojenský II

14 lenochů

Testování míčků

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář